Giải tích Ví dụ

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 13.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 15.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 15.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 15.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2}$

Bước 15.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0$

Bước 15.1.6

Nhân $2$ với $0$ .

$- 2 + 0$

Bước 15.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$- 2$