Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.2.2

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.1.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Bước 1.2.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x) - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Cộng $\frac{1}{x}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.4.2.2

Kết hợp $\ln^{2} (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.5

Nhân $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ với $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Kết hợp.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.6.3.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.9

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.2

Kết hợp $\frac{\ln (x)}{x}$ và $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.3.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.4

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.5.2

Chia $2 \ln (x)$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.10.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.2.1

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11.2.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11.2.3

Nhân $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11.2.3.2

Nhân $\ln (x^{2})$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.2.11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Bước 2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx 7.38905639$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $7.38905639$ trong $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $7.38905639$ trong biểu thức.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Bước 3.1.2.2

Logarit cơ số $2.71828182$ của $7.38905639$ xấp xỉ bằng $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Bước 3.1.2.3

Chia $7.38905639$ cho $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Bước 3.1.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $3.69452812$ .

$3.69452812$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $7.38905639$ trong $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ là $(7.38905639, 3.69452812)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 7.38905639)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $7.28905639$ trong biểu thức.

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $7.28905639$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Bước 5.2.1.2

Nâng $7.28905639$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Bước 5.2.2

Nhân $7.28905639$ với $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.3

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.4

Logarit cơ số $2.71828182$ của $7.28905639$ xấp xỉ bằng $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.5

Nâng $1.98637409$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.6

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.7

Logarit cơ số $2.71828182$ của $7.28905639$ xấp xỉ bằng $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.8

Nhân $- 1$ với $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.9

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.10

Logarit cơ số $2.71828182$ của $53.13034315$ xấp xỉ bằng $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.11

Nhân $- 1.98637409$ với $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.12

Trừ $7.89136412$ khỏi $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.13

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Bước 5.2.14

Logarit cơ số $2.71828182$ của $53.13034315$ xấp xỉ bằng $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Bước 5.2.15

Cộng $- 3.94568206$ và $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Bước 5.2.16

Chia $0.02706613$ cho $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Bước 5.2.17

Câu trả lời cuối cùng là $0.00023851$ .

$0.00023851$

Bước 5.3

Tại $7.28905639$ , đạo hàm bậc hai là $0.00023851$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, 7.38905639)$ .

Tăng trên $(- \infty, 7.38905639)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(7.38905639, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $7.48905639$ trong biểu thức.

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $7.48905639$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $7.48905639$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Bước 6.2.2

Nhân $7.48905639$ với $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.3

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.4

Logarit cơ số $2.71828182$ của $7.48905639$ xấp xỉ bằng $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.5

Nâng $2.0134428$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.6

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.7

Logarit cơ số $2.71828182$ của $7.48905639$ xấp xỉ bằng $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.8

Nhân $- 1$ với $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.9

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.10

Logarit cơ số $2.71828182$ của $56.0859657$ xấp xỉ bằng $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.11

Nhân $- 2.0134428$ với $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.12

Trừ $8.10790388$ khỏi $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.13

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Bước 6.2.14

Logarit cơ số $2.71828182$ của $56.0859657$ xấp xỉ bằng $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Bước 6.2.15

Cộng $- 4.05395194$ và $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Bước 6.2.16

Chia $- 0.02706632$ cho $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Bước 6.2.17

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Bước 6.3

Tại $7.48905639$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00021991$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(7.38905639, \infty)$

Giảm trên $(7.38905639, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Bước 8