Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(4 - 2 x)}^{2}$ ở dạng $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Bước 1.1.2

Khai triển $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.3.1.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.3.1.3

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Bước 1.1.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Bước 1.1.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Bước 1.1.3.1.6

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Bước 1.1.3.2

Trừ $8 x$ khỏi $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 - 16 x + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.2

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.4

Vì $- 16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 16 x$ đối với $x$ là $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.6

Nhân $- 16$ với $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.9

Nhân $2$ với $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.5.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Bước 1.1.5.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Bước 1.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.1

Di chuyển $- 16$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.2.1

Di chuyển $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.3

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.4

Nhân $2$ với $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.5

Nhân $- 16$ với $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Bước 1.1.6.4.10

Nhân $4$ với $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Bước 1.1.6.4.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Bước 1.1.6.4.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Bước 1.1.6.4.13

Cộng $1$ và $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Bước 1.1.6.4.14

Trừ $32 x^{2}$ khỏi $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Bước 1.1.6.4.15

Cộng $8 x^{3}$ và $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Bước 1.1.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x^{3}$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.2.3

Nhân $3$ với $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x^{2}$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.3.3

Nhân $2$ với $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Bước 1.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $32 x$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Bước 1.2.4.3

Nhân $32$ với $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Bước 2.2

Đưa $16$ ra ngoài $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $16$ ra ngoài $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Bước 2.2.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Bước 2.2.5

Đưa $16$ ra ngoài $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ cho $16$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ cho $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $3 x^{2} - 6 x + 2$ cho $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Bước 2.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.5

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = - 6$ , và $c = 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.2.2

Nhân $- 12$ với $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.3

Trừ $24$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Bước 2.6.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.2.2

Nhân $- 12$ với $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.3

Trừ $24$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Bước 2.7.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.2.2

Nhân $- 12$ với $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.3

Trừ $24$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.4

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 2.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Bước 2.8.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1.57735026$ trong $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.57735026$ trong biểu thức.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nâng $1.57735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Bước 3.1.2.2

Nhân $- 2$ với $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Bước 3.1.2.3

Trừ $3.15470053$ khỏi $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Bước 3.1.2.4

Nâng $0.84529946$ lên lũy thừa $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Bước 3.1.2.5

Nhân $2.48803387$ với $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Bước 3.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $1.77777777$ .

$1.77777777$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $1.57735026$ trong $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ là $(1.57735026, 1.77777777)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Bước 3.3

Thay $0.42264973$ trong $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.42264973$ trong biểu thức.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nâng $0.42264973$ lên lũy thừa $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 2$ với $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Bước 3.3.2.3

Trừ $0.84529946$ khỏi $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Bước 3.3.2.4

Nâng $3.15470053$ lên lũy thừa $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Bước 3.3.2.5

Nhân $0.17863279$ với $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Bước 3.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $1.77777777$ .

$1.77777777$

Bước 3.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $0.42264973$ trong $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ là $(0.42264973, 1.77777777)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Bước 3.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0.42264973)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.32264973$ trong biểu thức.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0.32264973$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Bước 5.2.1.2

Nhân $48$ với $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 96$ với $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $30.97437415$ khỏi $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 25.97743741$ và $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.02256258$ .

$6.02256258$

Bước 5.3

Tại $0.32264973$ , đạo hàm bậc hai là $6.02256258$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, 0.42264973)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0.42264973)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0.42264973, 1.57735026)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Bước 6.2.1.2

Nhân $48$ với $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 96$ với $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $96$ khỏi $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 48$ và $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 16$ .

$- 16$

Bước 6.3

Tại $1$ , đạo hàm bậc hai là $- 16$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(0.42264973, 1.57735026)$

Giảm trên $(0.42264973, 1.57735026)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1.57735026, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.67735026$ trong biểu thức.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $1.67735026$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Bước 7.2.1.2

Nhân $48$ với $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 96$ với $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $161.02562584$ khỏi $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Bước 7.2.2.2

Cộng $- 25.97743741$ và $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.02256258$ .

$6.02256258$

Bước 7.3

Tại $1.67735026$ , đạo hàm bậc hai là $6.02256258$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(1.57735026, \infty)$ .

Tăng trên $(1.57735026, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Bước 9