Giải tích Ví dụ

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{2}$ và $y = 5$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Bước 1.1.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \csc (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Trừ $\csc^{2} (x)$ khỏi $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.6.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.6.1.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.6.1.4

Nhân $0$ với $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 1.6.1.5

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$0 - 1^{2}$

Bước 1.6.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.6.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.6.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- 1$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{2}, 5)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Bước 2.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Bước 2.3.1.5.2

Nhân $\frac{π}{2}$ với $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Bước 2.3.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $5$ với $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Bước 3