Giải tích Ví dụ

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ và $y = \frac{π}{4}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arcsec (x)$ và $g (x) = 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $arcsec (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $6 (x)$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.2.2.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.2.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Bước 1.2.6

Nhân $\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ với $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

Bước 1.3

Tính đạo hàm tại $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{\sqrt{2}}{6}$ và $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

Bước 1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.3.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

Bước 1.4.2.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

Bước 1.4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

Bước 1.4.5

Nhân $\frac{6}{\sqrt{2}}$ với $1$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

Bước 1.4.6

Nhân $\frac{6}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Nhân $\frac{6}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.4.7.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.4.7.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.4.7.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.4.7.6.5

Tính số mũ.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Bước 1.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 1.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Bước 1.4.8.2.4

Chia $3 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $3 \sqrt{2}$ và một điểm đã cho $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ vào tử số.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Bước 2.3.1.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Bước 2.3.1.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

Bước 2.3.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Bước 2.3.1.4.5

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.1.5

Kết hợp $\sqrt{2}$ và $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Bước 2.3.1.6

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Bước 2.3.1.7

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Bước 2.3.1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Bước 2.3.1.9

Cộng $1$ và $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Bước 2.3.1.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.10.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.10.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Bước 2.3.1.10.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Bước 2.3.1.10.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 2.3.1.10.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.10.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 2.3.1.10.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

Bước 2.3.1.10.1.5

Tính số mũ.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 2.3.1.10.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

Bước 2.3.1.10.3

Chia $- 2$ cho $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{π}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

Bước 2.3.3.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

Bước 2.3.3.5

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

Bước 2.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $π$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

Bước 2.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (4) - 1 (- π)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

Bước 2.3.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

Bước 3