Giải tích Ví dụ

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = \frac{π}{3}$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Bước 1.2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Bước 1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Bước 1.5.2

Trừ $\cos (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Bước 1.5.3

Chia mỗi số hạng trong $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ cho $- x \sin (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ cho $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Bước 1.5.3.3.2

Tách các phân số.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Bước 1.5.3.3.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ sang $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Bước 1.5.3.3.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 2$ và $y = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$\frac{\cot (y)}{2}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $\frac{π}{3}$ trong biểu thức.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Bước 1.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Bước 1.7.3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Bước 1.7.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Bước 1.7.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Bước 1.7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.7.5

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Bước 1.7.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{\sqrt{3}}{6}$ và một điểm đã cho $(2, \frac{π}{3})$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.2

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{6}$ và $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 2.3.1.2.3.4

Viết lại biểu thức.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Bước 2.3.1.2.4

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \sqrt{3}$ ở dạng $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.1.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{π}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Bước 2.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Bước 2.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Bước 2.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Bước 2.3.3.5

Viết lại $- (\sqrt{3} - π)$ ở dạng $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Bước 2.3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Bước 2.3.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Bước 3