Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[6, 9]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Bước 5

Giả sử $u = x - 7$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = x - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 5.1.4

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 6 - 7$

Bước 5.3

Trừ $7$ khỏi $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 9 - 7$

Bước 5.5

Trừ $7$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Bước 7.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Bước 7.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Bước 7.2.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Bước 7.2.5

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 7.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Bước 7.2.7

Cộng $8$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Bước 7.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Bước 7.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Bước 7.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Bước 7.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Bước 7.2.8.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Bước 8

Trừ $6$ khỏi $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Bước 9.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 1$

Bước 10