Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

Bước 5

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 5.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 5.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 5.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $e^{u}$ tại $1$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Bước 7.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Bước 8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Bước 8.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Bước 9

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Bước 10

Nhân $\frac{2}{π}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Bước 11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Bước 12

Kết hợp $\frac{2}{π}$ và $e$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Bước 13

Nhân $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{2}{π}$ và $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Bước 14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Bước 15