Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 e^{x} d x)$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \int_{- 2}^{2} e^{x} d x)$

Bước 6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{x}]_{- 2}^{2}))$

Bước 7

Tính $e^{x}$ tại $2$ và tại $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - e^{- 2}))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - \frac{1}{e^{2}}))$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + 4 (- \frac{1}{e^{2}}))$

Bước 8.3

Nhân $4 (- \frac{1}{e^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - 4 \frac{1}{e^{2}})$

Bước 8.3.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + \frac{- 4}{e^{2}})$

Bước 8.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Bước 9

Cộng $2$ và $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Bước 10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 e^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (e^{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{e^{2}}$ vào tử số.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{e^{2}}$

Bước 12.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{e^{2}}$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{e^{2}}$

Bước 12.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = e^{2} + \frac{- 1}{e^{2}}$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$

Bước 14