Giải tích Ví dụ

$x^{7} e^{x^{8}}$

Bước 1

Viết $x^{7} e^{x^{8}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{7} e^{x^{8}} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ ở dạng ${u_{1}}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ ở dạng ${u_{1}}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.2.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ và $e^{{u_{1}}^{4}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 7.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ ở dạng ${u_{2}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 8.3

Kết hợp $\frac{u_{2}}{2}$ và $e^{{u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} e^{{u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 11

Giả sử $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Sau đó $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Bước 11.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 12

Kết hợp $e^{u_{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Bước 15

Tích phân của $e^{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{3}} + C)$

Bước 16

Rút gọn.

$\frac{1}{8} e^{u_{3}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{u_{2}}^{2}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Bước 17.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$