Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = 4 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 4 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $4 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.6

Viết lại $16 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

Bước 5.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

Bước 5.2.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

Bước 6

Vì $16$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 9.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Bước 13

Giả sử $u = 2 t$ . Sau đó $d u = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u = 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 13.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 13.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 14

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 15

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 17

Rút gọn.

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Bước 19.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ vào tử số.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 19.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 19.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Bước 19.3.4

Viết lại biểu thức.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Bước 19.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Bước 21

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$