Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $x^{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Bước 4.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.5.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Bước 4.1.3.5.2

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$x^{- 2}$

Bước 4.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

Bước 7

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$