Giải tích Ví dụ

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 + \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- d u = \sin (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 + \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 5.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 5.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Bước 5.1.4

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$- \sin (x)$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$