Giải tích Ví dụ

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 1

Viết $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Bước 5.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Bước 5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 6

Đưa $\sin^{2} (t)$ ra ngoài.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Bước 8

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Bước 9

Nhân $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $- 1 u^{2}$ ở dạng $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 10.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 10.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$