Giải tích Ví dụ

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ ở dạng $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Bước 4.3.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Bước 4.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.3.3

Cộng $\cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 4.4

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 4.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Bước 4.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Bước 4.6.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Bước 4.6.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 8

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Bước 10

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$