Giải tích Ví dụ

$\sqrt{3 x} + 1$

Bước 1

Viết $\sqrt{3 x} + 1$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{3 x} + 1$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} + 1 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{3 x} d x + \int d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u + \int d x$

Bước 6

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u + \int d x$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + x + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Bước 11.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{3 x} + 1$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + x + C$