Giải tích Ví dụ

$x e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1

Viết $x e^{\frac{x}{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Bước 7

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 7.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Bước 8.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Bước 10

Nhân $2$ với $- 2$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Bước 12

Viết lại $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ ở dạng $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$