Giải tích Ví dụ

$x e^{- 7 x}$

Bước 1

Viết $x e^{- 7 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x e^{- 7 x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x e^{- 7 x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 7 x}$ .

$x (- \frac{1}{7} e^{- 7 x}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $e^{- 7 x}$ và $\frac{1}{7}$ .

$x (- \frac{e^{- 7 x}}{7}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 7 x}}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 x} d x$

Bước 6

Vì $- \frac{1}{7}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - (- \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + 1 (\frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x)$

Bước 7.2

Nhân $\frac{1}{7}$ với $1$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{- 7 x} d x$

Bước 8

Giả sử $u = - 7 x$ . Sau đó $d u = - 7 d x$ , nên $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 7$ với $1$ .

$- 7$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Bước 9.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Bước 11

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} + \frac{1}{7} (- (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u$

Bước 12.2

Nhân $7$ với $7$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u$

Bước 13

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{7} x e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{x}{7} e^{- 7 x} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Bước 14.2.2

Kết hợp $e^{- 7 x}$ và $\frac{x}{7}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 7 x$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Bước 16

Kết hợp $e^{- 7 x}$ và $\frac{1}{49}$ .

$- \frac{e^{- 7 x} x}{7} - \frac{e^{- 7 x}}{49} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x e^{- 7 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{7} e^{- 7 x} x - \frac{1}{49} e^{- 7 x} + C$