Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 4

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 5

Giả sử $x = 4 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 4 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $4 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.7

Nâng $16$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.8

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.9

Viết lại $4096 \cos^{6} (t)$ ở dạng ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $4 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $4 \cos (t)$ ra ngoài $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Bước 7

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 9

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$