Giải tích Ví dụ

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 4

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 6

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Bước 7

Nhân $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $- 1 u^{2}$ ở dạng $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 8.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$