Giải tích Ví dụ

$x \sqrt{3 x - 6}$

Bước 1

Viết $x \sqrt{3 x - 6}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \sqrt{3 x - 6} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{3 x - 6}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{2}{9}$ và ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Vì $\frac{2}{9}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{9}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = 3 x - 6$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 3 x - 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $3 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 6]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 7.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 7.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 7.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Bước 8

Kết hợp $u^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 10.2

Nhân $3$ với $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $\frac{2}{9}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2.2

Kết hợp $\frac{2 x}{9}$ và ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2.3

Nhân $\frac{2}{5}$ với $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2.5

Nhân $5$ với $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2.6

Để viết $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Bước 12.2.7

Kết hợp $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Bước 12.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Bước 12.2.9

Kết hợp $u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Bước 12.2.10

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Bước 12.2.11

Kết hợp $- 9$ và $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Bước 12.2.12

Nhân $4$ với $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Bước 12.2.13

Đưa $9$ ra ngoài $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Bước 12.2.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.14.1

Đưa $9$ ra ngoài $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Bước 12.2.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Bước 12.2.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.16

Để viết $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.17

Kết hợp $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.19

Nhân $15$ với $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Bước 12.2.20

Viết lại $\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ ở dạng một tích.

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Bước 12.2.21

Nhân $\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ với $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Bước 12.2.22

Nhân $15$ với $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 6$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$