Giải tích Ví dụ

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Bước 1

Viết $\sin (x) \tan^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 8

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 9

Rút gọn $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Bước 9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 9.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 9.4

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 9.5

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Bước 9.6

Tách các phân số.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Bước 9.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Bước 9.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Bước 10

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\sec (x) \tan (x)$ , tích phân của $\sec (x) \tan (x)$ là $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Bước 11

Rút gọn.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$