Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Bước 1

Viết $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ , nên $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{π}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π}{4} x$ đối với $x$ là $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{π}{4}$ với $1$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{π}{4}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{4}{π}$ với $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

Bước 5.3

Kết hợp $\sin^{2} (u_{1})$ và $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

Bước 5.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{4}{π}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{4}{π}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 13

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 13.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 13.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 13.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 14

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 15

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 16

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 17

Rút gọn.

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Kết hợp $\frac{π}{4}$ và $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Bước 19.1.2

Kết hợp $\frac{π}{4}$ và $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

Bước 19.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

Bước 19.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

Bước 19.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Bước 19.1.4

Kết hợp $\sin (\frac{π x}{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Bước 19.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ vào tử số.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Bước 19.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Bước 19.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Bước 19.6

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

Bước 21

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$