Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (x) + 8$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$\cos (x) + 0$

Bước 1.1.3.2

Cộng $\cos (x)$ và $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 2.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 2.5

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 2.5.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 2.6

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.6.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.7

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \cos (x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \sin (x) + 8$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2} + π n - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Bước 5.2

Câu trả lời cuối cùng là $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Bước 5.4

Tại $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ đạo hàm là $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2} + π n + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Bước 6.4

Tại $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ đạo hàm là $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Bước 8