Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$1 - \ln (x) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \ln (x) = - 1$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.2.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Bước 2.3.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Bước 2.3.4

Viết lại $\ln (x) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Bước 2.3.5

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{1}$ .

$x = e$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 3.3

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 3.4

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 4

Tính $\frac{\ln (x)}{x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $e$ bằng $x$ .

$\frac{\ln (e)}{e}$

Bước 4.1.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{\ln (0)}{0}$

Bước 4.2.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(e, \frac{1}{e})$

Bước 5