Giải tích Ví dụ

Vì ${\displaystyle 6}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 6x^5}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=5}$.

Nhân ${\displaystyle 5}$ với ${\displaystyle 6}$.

Sử dụng ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ để viết lại ${\displaystyle \sqrt{x}}$ ở dạng ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ để kết hợp các số mũ.

Để viết ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Để viết ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\displaystyle 6}$, bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Cộng ${\displaystyle 3}$ và ${\displaystyle 2}$.

Vì ${\displaystyle 4}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 4x^{\frac{5}{6}}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{6}}\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{5}{6}}$.

Để viết ${\displaystyle -1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -1}$ và ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ và ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$.

Kết hợp ${\displaystyle 4}$ và ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{1}{6}}}{6}}$.

Nhân ${\displaystyle 5}$ với ${\displaystyle 4}$.

Di chuyển ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Đưa ${\displaystyle 2}$ ra ngoài ${\displaystyle 20}$.

Triệt tiêu các thừa số chung.

Vì ${\displaystyle -10}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -10e^{\frac{x}{2}}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle -10\frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x}{2}}\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Vì ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Kết hợp ${\displaystyle e^{\frac{x}{2}}}$ và ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -10}$ và ${\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$.

Triệt tiêu thừa số chung của ${\displaystyle -10}$ và ${\displaystyle 2}$.

Vì ${\displaystyle 30}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 30x^4}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle 30\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=4}$.

Nhân ${\displaystyle 4}$ với ${\displaystyle 30}$.

Vì ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle 3^x\ln \left(3\right)}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \ln \left(3\right)\frac{d}{dx}\left[3^x\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ là ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$ trong đó ${\displaystyle a}$=${\displaystyle 3}$.

Nâng ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ lên lũy thừa ${\displaystyle 1}$.

Nâng ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ lên lũy thừa ${\displaystyle 1}$.

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ để kết hợp các số mũ.

Cộng ${\displaystyle 1}$ và ${\displaystyle 1}$.

Vì ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ không đổi đối với ${\displaystyle x}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{10}{3x^{\frac{1}{6}}}}$ đối với ${\displaystyle x}$ là ${\displaystyle \frac{10}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}\right]}$.

Viết lại ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}}$ ở dạng ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-1}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ và ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{6}}}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ là ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=\frac{1}{6}}$.

Nhân các số mũ trong ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-2}}$.