Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Bước 1.3.2

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + 3 (e^{x} (\sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Bước 1.4.2.2

Cộng $\sin (x) e^{x}$ và $3 e^{x} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) + 3 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Bước 1.4.2.2.2

Cộng $e^{x} \sin (x)$ và $3 e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Bước 1.4.2.3

Trừ $3 \cos (x) e^{x}$ khỏi $e^{x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) - 3 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Bước 1.4.2.3.2

Trừ $3 e^{x} \cos (x)$ khỏi $e^{x} \cos (x)$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2.2

$- 2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Bước 2.3.2

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Bước 2.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Bước 2.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 (e^{x} (\sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Bước 2.4.3.2

Cộng $- 2 \cos (x) e^{x}$ và $4 e^{x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Bước 2.4.3.2.2

Cộng $- 2 e^{x} \cos (x)$ và $4 e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Bước 2.4.3.3

Cộng $2 e^{x} \sin (x)$ và $4 \sin (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Bước 2.4.3.3.2

Cộng $2 e^{x} \sin (x)$ và $4 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.2.2

$6 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Bước 3.3.2

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$6 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (e^{x} \cos (x)) + 6 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (e^{x} \cos (x)) + 6 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Bước 3.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 e^{x} \cos (x) + 6 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Bước 3.4.3.2

Trừ $2 e^{x} \sin (x)$ khỏi $6 \sin (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$6 e^{x} \cos (x) + 6 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Bước 3.4.3.2.2

Trừ $2 e^{x} \sin (x)$ khỏi $6 e^{x} \sin (x)$ .

$6 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Bước 3.4.3.3

Cộng $6 e^{x} \cos (x)$ và $2 \cos (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$6 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Bước 3.4.3.3.2

Cộng $6 e^{x} \cos (x)$ và $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f''' (x) = 8 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $8 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$ .

$8 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$