Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} + \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 x + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x + \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Bước 2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Bước 2.3.7

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = 2 - 4 \sin (2 x)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 - 4 \sin (2 x)$ .

$2 - 4 \sin (2 x)$