Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{15}$ và $g (x) = \frac{x}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{12}$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{12}$ đối với $x$ là $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} (\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $15$ .

$\frac{15}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{3 (5)}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \cdot 1$

Bước 1.2.4

Nhân $\frac{5}{4}$ với $1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{12}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{12^{14}}$

Bước 1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $14$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{1283918464548860}$

Bước 1.3.2.2

Nhân $\frac{5}{4}$ với $\frac{x^{14}}{1283918464548860}$ .

$\frac{5 x^{14}}{4 \cdot 1283918464548860}$

Bước 1.3.2.3

Nhân $4$ với $1283918464548860$ .

$\frac{5 x^{14}}{5135673858195440}$

Bước 1.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $5135673858195440$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{14}$ .

$\frac{5 (x^{14})}{5135673858195440}$

Bước 1.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5135673858195440$ .

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Bước 1.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Bước 1.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x^{14}}{1027134771639088}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{1027134771639088}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{14}}{1027134771639088}$ đối với $x$ là $\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$ .

$\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 14$ .

$\frac{1}{1027134771639088} (14 x^{13})$

Bước 2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $14$ và $\frac{1}{1027134771639088}$ .

$\frac{14}{1027134771639088} x^{13}$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{14}{1027134771639088}$ và $x^{13}$ .

$\frac{14 x^{13}}{1027134771639088}$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $1027134771639088$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đưa $14$ ra ngoài $14 x^{13}$ .

$\frac{14 (x^{13})}{1027134771639088}$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Đưa $14$ ra ngoài $1027134771639088$ .

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Bước 2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{x^{13}}{73366769402792}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x^{13}}{73366769402792}$ .

$\frac{x^{13}}{73366769402792}$