Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{7 \ln (t)}{t}$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Bước 1.4.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Bước 1.4.4.2

Kết hợp $7$ và $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Bước 1.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Bước 1.5.2.2

Nhân $7 (- \ln (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Bước 1.5.2.2.2

Rút gọn $- 7 \ln (t)$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 - \ln (t^{7})$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.2.3

Vì $7$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $7$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \ln (t^{7})$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = t^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{2}$ và $t^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.3

Kết hợp $\frac{- 7}{t^{5}}$ và $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{6}$ và $t^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.4.1

Đưa $t^{5}$ ra ngoài $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.4.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.4.4.2.4

Chia $- 7 t$ cho $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Bước 2.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Bước 2.4.6

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Bước 2.4.6.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Bước 2.4.6.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Bước 2.4.6.2.3

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Bước 2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Bước 2.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Nhân $- 2$ với $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Bước 2.6.2.1.2

Nhân $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Bước 2.6.2.1.2.2

Rút gọn $2 \ln (t^{7})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Bước 2.6.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(t^{7})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Bước 2.6.2.1.3.2

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Bước 2.6.2.2

Trừ $14$ khỏi $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 21$ ở dạng $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Bước 2.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Bước 2.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Bước 2.6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (t)$ đối với $t$ là $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$