Giải tích Ví dụ

$f (x) = 1 + x + x^{2} + \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x + x^{2} + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Cộng $0$ và $1$ .

$1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + \frac{1}{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 - x^{- 2} + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $2 - \frac{1}{x^{2}}$ và $0$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2$