Giải tích Ví dụ

$V (r) = k (16 r^{2} - r^{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $k$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $k (16 r^{2} - r^{3})$ đối với $r$ là $k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 r^{2} - r^{3}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Bước 1.3

Vì $16$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $16 r^{2}$ đối với $r$ là $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$k (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Bước 1.5

Nhân $2$ với $16$ .

$k (32 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Bước 1.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- r^{3}$ đối với $r$ là $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (32 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Bước 1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$k (32 r - (3 r^{2}))$

Bước 1.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$k (32 r - 3 r^{2})$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k (32 r) + k (- 3 r^{2})$

Bước 1.9.2

Di chuyển $32$ sang phía bên trái của $k$ .

$32 k r + k (- 3 r^{2})$

Bước 1.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (r) = 32 k r - 3 r^{2} k$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $32 k r - 3 r^{2} k$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d r} [32 k r]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $32 k$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $32 k r$ đối với $r$ là $32 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$32 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$32 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Bước 2.2.3

Nhân $32$ với $1$ .

$32 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3 k$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- 3 r^{2} k$ đối với $r$ là $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$32 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$32 k - 3 k (2 r)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$32 k - 6 k r$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (r) = - 6 k r + 32 k$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $V (r)$ đối với $r$ là $- 6 k r + 32 k$ .

$- 6 k r + 32 k$