Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan^{-1} (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan^{-1} (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\tan^{-1} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ với $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Bước 1.2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} + 1}]$

Bước 2.1.2

Viết lại $\frac{1}{4 x^{2} + 1}$ ở dạng ${(4 x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 4 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} + 1$ .

$2 (- {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 ({(4 x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.5

Nhân $2$ với $4$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x + 0)$

Bước 2.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$- 2 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} (8 x)$

Bước 2.3.7.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$- 16 {(4 x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4.2.4

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{2}}$