Giải tích Ví dụ

$y = 11 \csc (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 \csc (x)$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 1$ với $11$ .

$- 11 (\csc (x) \cot (x))$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 11 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 11 \cot (x) \csc (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 11 \cot (x) \csc (x)$ đối với $x$ là $- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$- 11 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 11 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.4

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.5

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 11 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Bước 2.9

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $2$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Bước 2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Bước 2.12.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 11$ .

$11 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Bước 2.12.2.2

Nhân $- 1$ với $- 11$ .

$11 \csc (x) \cot^{2} (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Bước 2.12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 \cot^{2} (x) \csc (x)$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot^{2} (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.5

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.6

Nhân $\cot^{2} (x)$ với $\cot (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Di chuyển $\cot (x)$ .

$11 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.6.2

Nhân $\cot (x)$ với $\cot^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$11 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$11 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.8

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.2.10

Cộng $1$ và $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $11 \csc^{3} (x)$ đối với $x$ là $11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Bước 3.3.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Bước 3.3.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Bước 3.3.5

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x))$

Bước 3.3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x))$

Bước 3.3.7

Cộng $1$ và $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Bước 3.3.8

Nhân $- 3$ với $11$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $11$ .

$- 11 (\cot^{3} (x) (\csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.2.2

Nhân $- 2$ với $11$ .

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 (\cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.2.3

Sắp xếp lại các thừa số của $- 22 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 \csc^{3} (x) \cot (x) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Bước 3.4.2.4

Trừ $33 \csc^{3} (x) \cot (x)$ khỏi $- 22 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = - 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 55 \csc^{3} (x) \cot (x)$