Giải tích Ví dụ

$w = (\frac{1 + 15 z}{5 z}) (15 - z)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = \frac{1 + 15 z}{5 z}$ và $g (z) = 15 - z$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [15 - z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 - z$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.2

Vì $15$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $15$ đối với $z$ là $0$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [- z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $- z$ đối với $z$ là $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- 1 \cdot 1) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \cdot - 1 + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.6.2

Kết hợp $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ và $- 1$ .

$\frac{(1 + 15 z) \cdot - 1}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $1 + 15 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.6.3.2

Viết lại $- 1 (1 + 15 z)$ ở dạng $- (1 + 15 z)$ .

$\frac{- (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Bước 1.2.7

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ đối với $z$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) (\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ là $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ trong đó $f (z) = 1 + 15 z$ và $g (z) = z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 15 z$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $1$ đối với $z$ là $0$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.4

Vì $15$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $15 z$ đối với $z$ là $15 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \cdot 1) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Nhân $15$ với $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \cdot 15 - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.6.2

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 \cdot z - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Bước 1.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Bước 1.4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$

Bước 1.4.8.2

Nhân $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$ với $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2} \cdot 5}$

Bước 1.4.8.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $z^{2}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 \cdot z^{2}}$

Bước 1.5

Để viết $(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} \cdot \frac{5 z}{5 z}$

Bước 1.6

Kết hợp $(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ và $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + \frac{(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Bước 1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Bước 1.8

Kết hợp $5$ và $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}} z}{5 z}$

Bước 1.9

Kết hợp $z$ và $\frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{5 z^{2}}}{5 z}$

Bước 1.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Đưa $z$ ra ngoài $5 z^{2}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Bước 1.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Bước 1.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Bước 1.11

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Bước 1.11.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.2

Nhân $15$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.3.2

Nhân $15$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - 15 z}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.3.3

Trừ $15 z$ khỏi $15 z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{0 - 1}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.3.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 1 - 15 z + 15 (- \frac{1}{z}) - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.6

Nhân $15 (- \frac{1}{z})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $15$ .

$\frac{- 1 - 15 z - 15 \frac{1}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.6.2

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.1.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{z}$ vào tử số.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.7.2

Đưa $z$ ra ngoài $- z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - 1 \cdot - 1}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + 1}{5 z}$

Bước 1.12.3.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1}{5 z}$

Bước 1.12.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.3.2.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z} + 0}{5 z}$

Bước 1.12.3.2.2

Cộng $- 15 z - \frac{15}{z}$ và $0$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15 z - \frac{15}{z}$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 15 z$ .

$\frac{5 (- 3 z) - \frac{15}{z}}{5 z}$

Bước 1.12.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $- \frac{15}{z}$ .

$\frac{5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.4.3

Đưa $5$ ra ngoài $5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.4.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 z$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 (z)}$

Bước 1.12.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Bước 1.12.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 z - \frac{3}{z}}{z}$

Bước 1.12.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 z - \frac{3}{z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.5.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 z$ .

$\frac{3 (- z) - \frac{3}{z}}{z}$

Bước 1.12.5.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3}{z}$ .

$\frac{3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})}{z}$

Bước 1.12.5.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})$ .

$\frac{3 (- z - \frac{1}{z})}{z}$

Bước 1.12.5.2

Để viết $- z$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (- z \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Bước 1.12.5.3

Kết hợp $- z$ và $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (\frac{- z \cdot z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Bước 1.12.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 \frac{- z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Bước 1.12.5.5

Nhân $z$ với $z$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.5.5.1

Di chuyển $z$ .

$\frac{3 \frac{- (z \cdot z) - 1}{z}}{z}$

Bước 1.12.5.5.2

Nhân $z$ với $z$ .

$\frac{3 \frac{- z^{2} - 1}{z}}{z}$

Bước 1.12.6

Kết hợp $3$ và $\frac{- z^{2} - 1}{z}$ .

$\frac{\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z}}{z}$

Bước 1.12.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Bước 1.12.8

Kết hợp.

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z \cdot z}$

Bước 1.12.9

Nhân $z$ với $z$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Bước 1.12.10

Nhân $3 (- z^{2} - 1)$ với $1$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z^{2}}$

Bước 1.12.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- z^{2}$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1)}{z^{2}}$

Bước 1.12.12

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1 (1))}{z^{2}}$

Bước 1.12.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (z^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Bước 1.12.14

Viết lại $- (z^{2} + 1)$ ở dạng $- 1 (z^{2} + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Bước 1.12.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (z) = - \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $- \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ đối với $z$ là $- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$

Bước 2.2

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân các số mũ trong ${(z^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z^{2} + 1$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $1$ đối với $z$ là $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.3.5

Cộng $2 z$ và $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.4

Nhân $z^{2}$ với $z$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $z$ .

$- 3 \frac{z \cdot z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.4.2

Nhân $z$ với $z^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nâng $z$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \frac{z^{1} z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 \frac{z^{1 + 2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 3 \frac{z^{3} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $z^{3}$ .

$- 3 \frac{2 \cdot z^{3} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - (z^{2} + 1) (2 z)}{z^{4}}$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$

Bước 2.7.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$ .

$\frac{- 3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Bước 2.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 (2 z^{3} + (- 2 z^{2} - 2 \cdot 1) z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 z^{2} z - 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{3 (2 z^{3}) + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1.1

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.2

Nhân $z^{2}$ với $z$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1.2.1

Di chuyển $z$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z \cdot z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.2.2

Nhân $z$ với $z^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1.2.2.1

Nâng $z$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z^{1} z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 z)}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.1.5

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 6 z}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.2

Trừ $6 z^{3}$ khỏi $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 6 z}{z^{4}}$

Bước 2.8.4.3

Trừ $6 z$ khỏi $0$ .

$- \frac{- 6 z}{z^{4}}$

Bước 2.8.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $z$ và $z^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.5.1.1

Đưa $z$ ra ngoài $- 6 z$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z^{4}}$

Bước 2.8.5.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.5.1.2.1

Đưa $z$ ra ngoài $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Bước 2.8.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Bước 2.8.5.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{- 6}{z^{3}}$

Bước 2.8.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{6}{z^{3}}$

Bước 2.8.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{6}{z^{3}}$

Bước 2.8.5.4

Nhân $\frac{6}{z^{3}}$ với $1$ .

$f'' (z) = \frac{6}{z^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $\frac{6}{z^{3}}$ đối với $z$ là $6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{z^{3}}$ ở dạng ${(z^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d z} [{(z^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(z^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{3 \cdot - 1}]$

Bước 3.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{- 3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$6 (- 3 z^{- 4})$

Bước 3.4

Nhân $- 3$ với $6$ .

$- 18 z^{- 4}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{z^{4}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Kết hợp $- 18$ và $\frac{1}{z^{4}}$ .

$\frac{- 18}{z^{4}}$

Bước 3.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (z) = - \frac{18}{z^{4}}$