Giải tích Ví dụ

$y = \cot (9 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 x$ .

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

Bước 1.2.4

Nhân $- 9$ với $1$ .

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 \csc^{2} (9 x)$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \csc (9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (9 x)$ .

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (9 x)$ .

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $- 9$ .

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 9 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.5

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.6

Nâng $\csc (9 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.7

Nâng $\csc (9 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Bước 2.10

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.11

Nhân $9$ với $18$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

Bước 2.13

Nhân $162$ với $1$ .

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$