Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (2 x)$ và $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Bước 1.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x}$ và $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{6}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{5}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.4.2.2

Chia $x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.6

Nhân $x^{5}$ với $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Bước 1.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Bước 1.4.8

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Bước 1.4.8.2

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.8.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Bước 1.4.8.2.2

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Bước 1.4.8.2.3

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Bước 1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

Bước 1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn $- 6 \ln (2 x)$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

Bước 1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Bước 1.6.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{7})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (64 x^{6})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (64 x^{6})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 64 x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp $x^{7}$ và $\frac{1}{64 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{7}$ và $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $64 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.3

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $64 x^{6}$ đối với $x$ là $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Nhân $64$ với $- 1$ .

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.2

Kết hợp $- 64$ và $\frac{x}{64}$ .

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.3.1

Đưa $64$ ra ngoài $- 64 x$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.3.2.1

Đưa $64$ ra ngoài $64$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.4.3.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.4.6

Nhân $6$ với $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.5

Nhân $x$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.5.2

Nhân $x^{5}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.5.3

Cộng $5$ và $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Bước 2.7

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Bước 2.7.2

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Bước 2.7.2.2

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Bước 2.7.2.3

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Bước 2.8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Đưa $x^{6}$ ra ngoài $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Bước 2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Bước 2.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Bước 2.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Bước 2.9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.1

Nhân $- 7$ với $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.2

Nhân $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.2.2

Rút gọn $7 \ln (64 x^{6})$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $64 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.4

Nâng $64$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.1.5.2

Nhân $6$ với $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

Bước 2.9.2.2

Trừ $7$ khỏi $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$