Giải tích Ví dụ

$y = 10^{2 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 10^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $10$ .

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$10^{2 x} \ln (10) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10^{2 x} \ln (10) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10^{2 x} \ln (10) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$10^{2 x} \ln (10) \cdot 2$

Bước 1.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $10^{2 x} \ln (10)$ .

$f' (x) = 2 \cdot 10^{2 x} \ln (10)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2 \ln (10)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cdot 10^{2 x} \ln (10)$ đối với $x$ là $2 \ln (10) \frac{d}{d x} [10^{2 x}]$ .

$2 \ln (10) \frac{d}{d x} [10^{2 x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 10^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \ln (10) (\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $10$ .

$2 \ln (10) (10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \ln (10) (10^{2 x} \ln (10) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3

Nâng $\ln (10)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (10^{2 x} (\ln^{1} (10) \ln (10)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.4

Nâng $\ln (10)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (10^{2 x} (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (10^{2 x} {\ln (10)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (10^{2 x} \ln^{2} (10) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cdot 10^{2 x} \ln^{2} (10) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cdot 10^{2 x} \ln^{2} (10) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 10^{2 x} \ln^{2} (10) \cdot 1$

Bước 2.10

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 10^{2 x} \ln^{2} (10)$