Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{11 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{11 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{5 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{5} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 2}{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.11

Kết hợp $\frac{- 2}{5}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{- 3}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.12

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{11 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{11 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{11} (- x^{- 2})$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{x^{- 2}}{11}$

Bước 1.3.5

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{1}{11 x^{2}}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{1}{11 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{11 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{11 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{11 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{11 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- \frac{1}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{11 x^{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{1}{11} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- \frac{1}{11} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{11} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{11} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- \frac{1}{11} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{11} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{11} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{11} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- \frac{1}{11} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.10

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 (\frac{1}{11}) x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.11

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{11}$ .

$\frac{2}{11} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.12

Kết hợp $\frac{2}{11}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{- 3}}{11} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.2.13

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5 x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{2}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{5 x^{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 2.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 2.3.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} - \frac{2}{5} (- 3 x^{- 4})$

Bước 2.3.8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} + 3 (\frac{2}{5}) x^{- 4}$

Bước 2.3.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} + \frac{3 \cdot 2}{5} x^{- 4}$

Bước 2.3.10

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} + \frac{6}{5} x^{- 4}$

Bước 2.3.11

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $x^{- 4}$ .

$\frac{2}{11 x^{3}} + \frac{6 x^{- 4}}{5}$

Bước 2.3.12

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{11 x^{3}} + \frac{6}{5 x^{4}}$