Giải tích Ví dụ

$y = x^{\frac{5}{2}} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 1.7.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Bước 1.8

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 1.9

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 1.10.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.7.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.8

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.2.9

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{5}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$

Bước 2.3.2

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.8.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.9

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.3.10

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5 (e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.4.2.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.4.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{4} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

Bước 2.4.2.4

Kết hợp $x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{5}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} e^{x}$

Bước 2.4.2.5

Kết hợp $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2}$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 e^{x}}{2}$

Bước 2.4.2.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$

Bước 2.4.2.7

Cộng $\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.7.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.7.2

Cộng $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.9

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $10 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 (1)} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 \cdot 1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.2.11.4

Chia $5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ cho $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 5 e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$