Giải tích Ví dụ

$f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (2 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (2 θ)$ .

$2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sec (θ)$ và $g (θ) = 2 θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.3

Nâng $\sec (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.4

Nâng $\sec (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (2 θ)}^{1 + 1} (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 1.7

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 θ$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Bước 1.8

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \cdot 1$

Bước 1.10

Nhân $4$ với $1$ .

$f' (θ) = 4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$ đối với $θ$ là $4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$ và $g (θ) = \tan (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (2 θ)] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \tan (θ)$ và $g (θ) = 2 θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.4

Nhân $\sec^{2} (2 θ)$ với $\sec^{2} (2 θ)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $\sec^{2} (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 ({\sec (2 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.4.3

Cộng $2$ và $2$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 θ$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \cdot 1) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \cdot 2 + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.5.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (2 θ)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Bước 2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Bước 2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Bước 2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \cdot \tan (2 θ) \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sec (θ)$ và $g (θ) = 2 θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.8.2

Đạo hàm của $\sec (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.9

Nâng $\tan (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.10

Nâng $\tan (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan^{1} (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 {\tan (2 θ)}^{1 + 1} \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Bước 2.13

Nâng $\sec (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 2.14

Nâng $\sec (2 θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 2.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) {\sec (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 2.16

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Bước 2.17

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 θ$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Bước 2.18

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Bước 2.19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \cdot 1)$

Bước 2.20

Nhân $4$ với $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Bước 2.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ)) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Bước 2.21.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Bước 2.21.2.2

Nhân $4$ với $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 16 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ)$

Bước 2.21.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (θ) = 16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (θ)$ đối với $θ$ là $16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$ .

$16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$