Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\sec^{2} (2 x + 1)$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Bước 1.3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Bước 1.3.7.2

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ và $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Bước 1.3.7.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Bước 1.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Bước 1.3.7.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.7.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (2 x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Bước 2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\sec (2 x + 1)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Bước 2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Bước 2.3.4.2

Chia $\sec (2 x + 1)$ cho $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.5

Nâng $\sec (2 x + 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.6

Nâng $\sec (2 x + 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 2.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.12

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Bước 2.14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Bước 2.14.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$