Giải tích Ví dụ

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + \frac{4}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Bước 1.2.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Bước 1.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Bước 1.2.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $4$ với $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Bước 1.2.7

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{- 16}{x^{2}}$ và ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Bước 1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Để viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Bước 1.3.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{7 x + 4}{x}$ .

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Kết hợp $16$ và $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Bước 1.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Bước 1.3.6

Kết hợp.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Bước 1.3.7

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Bước 1.3.7.2

Cộng $3$ và $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Bước 1.3.8

Nhân $16 {(7 x + 4)}^{3}$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ đối với $x$ là $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ và $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $5$ với $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 7 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.4

Nhân $7$ với $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.5

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Cộng $7$ và $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.6.2

Nhân $7$ với $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Bước 2.5.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Bước 2.5.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.8.1

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Bước 2.5.8.2

Kết hợp $- 16$ và $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Bước 2.5.8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Bước 2.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Đưa $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ ra ngoài $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1.1

Đưa $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ ra ngoài $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.1.2

Đưa $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ ra ngoài $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.1.3

Đưa $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ ra ngoài $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.2

Di chuyển $21$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.4

Nhân $7$ với $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.5

Nhân $- 5$ với $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.6

Trừ $35 x$ khỏi $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.7

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 x - 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 20$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Bước 2.6.2.8

Nhân $2$ với $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Bước 2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x^{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

Bước 2.6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.2.1

Đưa $x^{4}$ ra ngoài $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 2.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Bước 2.6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

Bước 2.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 7 x$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

Bước 2.6.5

Viết lại $- 10$ ở dạng $- 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

Bước 2.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (7 x) - 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

Bước 2.6.7

Viết lại $- (7 x + 10)$ ở dạng $- 1 (7 x + 10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

Bước 2.6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Bước 2.6.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Bước 2.6.10

Nhân $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ với $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Bước 2.6.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$