Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (t) = \int \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $3 t^{4}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Bước 3.1.2

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $- t^{3}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t) + 6 t^{2}}{t^{4}} d t$

Bước 3.1.3

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $6 t^{2}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t) + t^{2} \cdot 6}{t^{4}} d t$

Bước 3.1.4

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{2} (3 t^{2}) + t^{2} (- t)$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t) + t^{2} \cdot 6}{t^{4}} d t$

Bước 3.1.5

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{2} (3 t^{2} - t) + t^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{4}} d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $t^{2}$ ra ngoài $t^{4}$ .

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{2} t^{2}} d t$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{t^{2} (3 t^{2} - t + 6)}{t^{2} t^{2}} d t$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{3 t^{2} - t + 6}{t^{2}} d t$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $t^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) t^{2 \cdot - 1} d t$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (3 t^{2} - t + 6) t^{- 2} d t$

Bước 5

Khai triển $(3 t^{2} - t + 6) t^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 t^{2} - t) t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 t^{2} t^{- 2} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 t^{2 - 2} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.4

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int 3 t^{0} - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.6

Nhân $3$ với $1$ .

$\int 3 - t \cdot t^{- 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.7

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int 3 - (t \cdot t^{- 2}) + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.8

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 3 - (t^{1} t^{- 2}) + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 - t^{1 - 2} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.10

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\int 3 - t^{- 1} + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.11

Sắp xếp lại $3$ và $- t^{- 1}$ .

$\int - t^{- 1} + 3 + 6 t^{- 2} d t$

Bước 5.12

Di chuyển $3$ .

$\int - t^{- 1} + 6 t^{- 2} + 3 d t$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - t^{- 1} d t + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int t^{- 1} d t + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Bước 8

Tích phân của $t^{- 1}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$- (\ln (| t |) + C) + \int 6 t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Bước 9

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$- (\ln (| t |) + C) + 6 \int t^{- 2} d t + \int 3 d t$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- 2}$ đối với $t$ là $- t^{- 1}$ .

$- (\ln (| t |) + C) + 6 (- t^{- 1} + C) + \int 3 d t$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\ln (| t |) + C) + 6 (- t^{- 1} + C) + 3 t + C$

Bước 12

Rút gọn.

$- \ln (| t |) - \frac{6}{t} + 3 t + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (t) = \frac{3 t^{4} - t^{3} + 6 t^{2}}{t^{4}}$ .

$F (t) =$ $- \ln (| t |) - \frac{6}{t} + 3 t + C$