Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 7.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 7.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 \int x^{- 2} d x + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + \int 7 x d x + \int - 1 d x$

Bước 9

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 \int x d x + \int - 1 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 4 (- x^{- 1} + C) + 7 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{x} + \frac{7 x^{2}}{2} - x + C$

Bước 12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x} + \frac{4}{x^{2}} + 7 x - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x} + \frac{7}{2} x^{2} - x + C$