Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (5 \csc (x))$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc tích số. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \csc (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$5 (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 (\csc (x) \cot (x))$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 5 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 5 \cot (x) \csc (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 \cot (x) \csc (x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = \csc (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.4

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.5

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Bước 3.9

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Bước 3.11

Cộng $1$ và $2$ .

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Bước 3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 5 (- \csc^{3} (x))$

Bước 3.12.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.2.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 5 (- \csc^{3} (x))$

Bước 3.12.2.2

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{3} (x)$

Bước 3.12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 5 \cot^{2} (x) \csc (x) + 5 \csc^{3} (x)$