Giải tích Ví dụ

$y = (x + 1) (7 \sqrt{x} + 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = 7 \sqrt{x} + 2$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 2] + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 \sqrt{x} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(x + 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.10

Kết hợp $7$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(x + 1) (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.2

Cộng $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + 0)$

Bước 4.6

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{7 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.4.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.5

Nhân $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.6

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2 \cdot 1$

Bước 5.3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 + 7 \sqrt{x}$