Giải tích Ví dụ

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Bước 1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\tan (θ) = \frac{đối diện}{kề}$

Bước 2

Tìm cạnh huyền của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh đối và cạnh kề đã biết, ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Cạnh huyền = \sqrt{{đối diện}^{2} + {kề}^{2}}$

Bước 3

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Cạnh huyền = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{3}$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Cạnh huyền $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

Cạnh huyền $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Bước 4.3.5

Tính số mũ.

Cạnh huyền $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Bước 4.4

Nhân $4$ với $3$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

Bước 4.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{12 + 9}$

Bước 4.6

Cộng $12$ và $9$ .

Cạnh huyền $= \sqrt{21}$

Bước 5

Tìm sin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Bước 5.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

Bước 5.3

Rút gọn giá trị của $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\sqrt{21}$ vào một căn thức đơn.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

Bước 5.3.3

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{7}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

Bước 5.3.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Bước 5.3.5

Nhân $\frac{1}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Bước 5.3.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Bước 5.3.6.2

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Bước 5.3.6.3

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Bước 5.3.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Bước 5.3.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Bước 5.3.6.6

Viết lại ${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 5.3.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 5.3.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Bước 5.3.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Bước 5.3.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Bước 5.3.6.6.5

Tính số mũ.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Bước 5.3.7

Kết hợp $2$ và $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Bước 6

Tìm cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm giá trị của $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Bước 6.3

Rút gọn giá trị của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{21}}$ với $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{3}{\sqrt{21}}$ với $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Bước 6.3.2.2

Nâng $\sqrt{21}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Bước 6.3.2.3

Nâng $\sqrt{21}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Bước 6.3.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Bước 6.3.2.6

Viết lại ${\sqrt{21}}^{2}$ ở dạng $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{21}$ ở dạng $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Bước 6.3.2.6.5

Tính số mũ.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{21}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Bước 7

Kết hợp $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ và $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Bước 8

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\cot (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.2.2

Di chuyển $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Bước 8.3.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Bước 8.3.2.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Bước 8.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3.2.7

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.2.7.5

Tính số mũ.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 9

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 10

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 10.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 10.3

Rút gọn giá trị của $\csc (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $\sqrt{21}$ và $\sqrt{3}$ vào một căn thức đơn.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

Bước 10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

Bước 10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

Bước 10.3.2.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Bước 11

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$