Giải tích Ví dụ

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x e^{x}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 3.4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Bước 3.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Bước 6

Thay thế $x$ bằng $0$ và $y$ với $0$ trong biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $8$ với $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Bước 7.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Bước 7.1.3

Nhân $0$ với $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Bước 7.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Bước 7.1.5

Nhân $8$ với $1$ .

$0 + 8$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $8$ .

$8$