Giải tích Ví dụ

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (8 x e^{x})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $8 x e^{x}$ đối với $y$ là $8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$8 (x (e^{u} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$8 (x (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} x')$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x (e^{x} x')) + 8 (e^{x} x')$

Bước 3.6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$8 x (e^{x} x') + 8 e^{x} x'$

Bước 3.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$

Bước 3.6.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x} = 1$

Bước 5.3

Đưa $8 x' e^{x}$ ra ngoài $8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $8 x' e^{x}$ ra ngoài $8 x x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $8 x' e^{x}$ ra ngoài $8 x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1 = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $8 x' e^{x}$ ra ngoài $8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1$ .

$8 x' e^{x} (x + 1) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ cho $8 e^{x} (x + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ cho $8 e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 5.4.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Bước 7

Thay thế $x$ bằng $0$ và $y$ với $0$ trong biểu thức.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{0} ((0) + 1)}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0} \cdot 1}$

Bước 8.1.2

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0}}$

Bước 8.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Bước 8.2

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{1}{8}$